FRAMA, ένας ακόμη κινητός μέσος

 

Βασικό εργαλείο στα τασικά συστήματα αγοραπωλησίας μετοχών είναι ο Απλός Κινητός Μέσος (ΑΚΜ-SMA). Η λογική της κατασκευής του είναι απλή: κάθε μέρα ερχόμαστε και υπολογίζουμε τον μέσο όρο των τιμών σε μια προεπιλεγμένη περίοδο Ν ημερών. Δλδ αθροίζουμε τις τιμές της μετοχής των τελευταίων Ν ημερών και διαιρούμε το αποτέλεσμα με το Ν, όπως υπολογίζουμε τον μ.ο. των βαθμών ενός μαθητή για να βγάλουμε τον βαθμό του ενδεικτικού ή του απολυτηρίου. Με αυτή τη διαδικασία δίνουμε την ίδια βαρύτητα σε όλες τις τιμές των τελευταίων Ν ημερών. Αν, πρδγμα, χρησιμοποιούμε τον ΑΚΜ 50 ημερών μιας μετοχής δίνουμε 2% βαρύτητα στην τιμή της μετοχής πριν 50 ημέρες, 2% στην τιμή της μετοχής πριν 49 ημέρες, 2% στην τιμή της μετοχής πριν 48 ημέρες κ.ο.κ. Θα μπορούσε κάποιος να αντιτείνει ότι κάθε μέρα μπορεί να έχει διαφορετική βαρύτητα ανάλογα με τον τζίρο της κάθε ημέρας. Ή με το πόσο παλιά είναι η μέρα στο δείγμα των Ν ημερών. Στην πρώτη περίπτωση υπολογίζουμε τον VWMA και στην δεύτερη τον Σταθμισμένο Κινητό Μέσο-WMA.

Ένας επίσης γνωστός ΚΜ με μεταβλητή βαρύτητα για κάθε ημέρα είναι ο Εκθετικός Κινητός Μέσος (ΕΚΜ-ΕΜΑ) που αυξάνει με «εκθετικό» τρόπο την βαρύτητα της κάθε ημέρας όσο πλησιάζουμε προς την τελευταία ημέρα.

Ας τα δούμε αυτά συγκριτικά στο διάγραμμα. Στον ΑΚΜ (Simple MA) των 50 ημερών κάθε ημέρα από τις τελευταίες 50 ημέρες έχει βαρύτητα 2% (=100%:50). Στον WMA (Weighted MA) η πρώτη μέρα έχει βαρύτητα 0,08%, η δεύτερη 0,16%, η τρίτη 0,24% … η πεντηκοστή 3,92%. Όπως φαίνεται η βαρύτητα της κάθε ημέρας αυξάνεται γραμμικά καθώς πηγαίνουμε από την πρώτη προς την τελευταία ημέρα. Αυξανόμενη βαρύτητα από την πρώτη προς την τελευταία ημέρα έχει και ο ΕΜΑ (Exponential MA) αλλά αυτή δεν είναι γραμμική και έχει την ιδιότητα να αυξάνει όσο πλησιάζουμε προς τις τελευταίες ημέρες (λέμε ότι έχει εκθετική συμπεριφορά –για την εξήγηση της ορολογίας βλ. παρακάτω).         

Σχήμα 1. Βαρύτητα κάθε ημέρας (αριστερά), συμπεριφορά απλού και εκθετικού ΚΜ 50 ημερών (δεξιά)

Σχήμα 2. Βαρύτητα κάθε ημέρας στους τρεις (SMA, EMA, WMA) ΚΜ 50 ημερών  

Τι είναι το e;

Στα μαθηματικά συναντάμε συχνά το σύμβολο e το οποίο δεν είναι τίποτε άλλο από έναν αριθμό, προς τον οποίο τείνει η ακολουθία (1 + 1/n)ⁿ όσο μεγαλώνει το n και έχει τιμή 2,71828… Είναι ένας αριθμός που δεν τελειώνει ποτέ (όπως και ο αριθμός π) και όπως λένε οι μαθηματικοί είναι άρρητος (δηλ. δεν γράφεται ως λόγος ακεραίων) και υπερβατικός (δηλ. δεν είναι ρίζα κανενός μη-μηδενικού πολυώνυμου με ρητούς συντελεστές).

(Πρδγμα αν θέσουμε n=10: (1 + 1/10)¹⁰ = 2.593…, n=100: (1 + 1/100)¹⁰⁰ = 2.7048…, n=1000: (1 + 1/1000)¹⁰⁰⁰ = 2.7169… κ.ο.κ)

Αποκαλείται αριθμός του  Όυλερ -προς τιμήν του μαθηματικού Λέοναρντ Όυλερ- ή και ως σταθερά του Νέιπιερ (αν και ανακαλύφθηκε από τον Ελβετό μαθηματικό Γιακόμπ Μπερνούλι όταν μελετούσε σύνθετους τόκους).

Χρησιμοποιείται ως βάση των φυσικών λογαρίθμων και έχει την “μαγική” ιδιότητα να αυξάνει γρήγορα όταν το n παίρνει μικρές τιμές (1, 2, 3…) αλλά τελικά να “φρενάρει” και να αυξάνει ελάχιστα για μεγάλες τιμές του n.

Για να εξαλείψουμε αυτήν την δράση του e από μια μαθηματική παράσταση το “αντίδοτο” είναι η χρήση του φυσικού λογάριθμου ln (αφού lne=1).

Για να εξηγήσουμε και τον όρο «εκθετική συμπεριφορά» που αναφέραμε παραπάνω, ονομάζουμε εκθετική συνάρτηση την συνάρτηση y=e^x αλλά ο ίδιος όρος γενικά χρησιμοποιείται για κάθε συνάρτηση της μορφής y= c b^x όπου η βάση b είναι οποιοσδήποτε θετικός πραγματικός αριθμός και c είναι σταθερός μη μηδενικός πραγματικός αριθμός και x οποιοσδήποτε πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός.

Σχήμα 3. Η εκθετική συνάρτηση y= c b^x για για c = 1 και 0,5 και b = e και 3

Τι είναι το fractal

Ένα fractal, με απλά λόγια, θα λέγαμε ότι είναι ένα γεωμετρικό σχήμα πολύπλοκης δομής, το οποίο χαρακτηρίζεται από αυτο-ομοιότητα, δλδ ομοιότητα κάθε τμήματος του με το όλον, ανεξάρτητα από την κλίμακα μεγέθους. Η κλασματική διάσταση ομοιότητας (ή απλά διάσταση) του fractal ορίζεται ως D=logK/logM, όπου Κ το πλήθος των ισοδύναμων μερών στα οποία διαιρείται και Μ ο συντελεστής μεγέθυνσης.

Ας δούμε τον παραπάνω απλό ορισμό στο τρίγωνο του Sierpinski. Αυτό κατασκευάζεται ξεκινώντας από ένα ισόπλευρο τρίγωνο που με κορυφές τα μέσα των πλευρών του δημιουργούμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά ίση με το μισό της πλευράς του αρχικού τριγώνου. Επαναλαμβάνουμε το ίδιο για κάθε τρίγωνο όσες φορές θέλουμε (μπορεί και επ’ άπειρον). Τελικά, έχουμε το παρακάτω σχήμα.

 

Σχήμα 4: το τρίγωνο Sierpinski

Η κλίμακα ανά βήμα είναι 1/2 (άρα Μ=2) και κάθε φορά έχουμε 3 όμοια με το αρχικό τρίγωνα (άρα Κ=3). Επομένως, η κλασματική διάσταση είναι D=log3/log2=1,584.

(Ετυμολογία: fraction (=μικρό κομμάτι, κλάσμα) και dimensional (=αυτός που έχει διάσταση))

Fractal Moving Average (FRAMA)

Ξεκινώντας με την παρατήρηση/παραδοχή πως οι τιμές των μετοχών έχουν fractal συμπεριφορά (καθώς έχει παρατηρηθεί πως οι αγορές μπορεί να κινούνται ταυτοχρόνως σε διαφορετικούς χρονικούς ορίζοντες αλλά με παρόμοιους τρόπους), ο John Ehlers έφτιαξε έναν νέο κινητό μέσο ο οποίος προσαρμόζει των αριθμό των ημερών του βάσει της Γεωμετρίας Fractal.

Υπολογισμός του FRAMA

HL1 = [max­_H(1,…,N/2) - min_L(1,…,N/2)] / (N/2)

HL2 = [max­_H(N/2+1,…,N) - min_L(N/2+1,…,N] / (N/2)

HL = [max­_H(1,…,N) - min_L(1,…,N] / N

D = [log(HL1+HL2) - log(HL)] / log2

a = e ^(W*(D-1)), με W = -4,6

FRAMA = FRAMA_-1 + a * (Close- FRAMA_-1)

όπου FRAMA_-1 η τιμή του FRAMA της προηγούμενης ημέρας (Ο Ehlers προτείνει αντί της τιμής κλεισίματος (Close) να χρησιμοποιείται το ημιάθροισμα (H+L)/2, δλδ η μέση τιμή της ημέρας).

 Σχήμα 5: Συγκριτική συμπεριφορά διαφόρων Κινητών Μέσων

 

Σχήμα 6: απλός ΚΜ 50 ημερών και FRAMA 50 ημερών

Εκτός της κλασικού FRAMA υπάρχει και η παραλλαγή του FRAMA-modified (FRAMA-m). Ο υπολογισμός του γίνεται με βάση την παρακάτω φόρμουλα:

HL1 = [max­_H(1,…,N/2) - min_L(1,…,N/2)] / (N/2)

HL2 = [max­_H(N/2+1,…,N) - min_L(N/2+1,…,N] / (N/2)

HL = [max­_H(1,…,N) - min_L(1,…,N] / N

D = [log(HL1+HL2) - log(HL)] / log2

a = e ^(W*(D-1)), με W = -4,6

Original N = (2-a) / a

New N = N΄ = ((SC-FC) * ((Original N – 1) / (SC-1))) + FC

New a = a΄ = 2 / (N΄ + 1)

FRAMA = FRAMA_-1 + a΄ * (Close- FRAMA_-1)

Εδώ εμφανίζονται δυο νέοι παράγοντες, οι SC και FC. Ο πρώτος είναι αργός και του δίνουμε μεγάλες τιμές (100, 150 έως και 300) και ο δεύτερος γρήγορος και του δίνουμε μικρές τιμές (1 έως και 60).

Προτείνονται οι τιμές: N = 126, SC = 300 και FC = 4.

Όπως φαίνεται στα παρακάτω διαγράμματα ο μεσοπρόθεσμος FRAMA δεν ακολουθεί την "λογική" πορεία που ακολουθεί ένας ΚΜ. Όταν επιταχύνει ο δείκτης αναφοράς (εδώ ο S&P500) ακολουθεί ο μεσοπρόθεσμος FRAMA σαν να ήταν βραχυπρόθεσμος ΚΜ. 

 

Σχήματα 7α και 7β: βραχυπρόθεμοι και μεσοπρόθεσμοι απλοί ΚΜ και FRAMA

 

 

Σχετικά:

1. Διάφοροι Κινητοί Μέσοι

2. Fractals παντού και πάντα

3. Comparing different types of moving averages intrading

 

 

 

 

 

Τα «κλεμμένα»

 

Ας φανταστούμε όμως μια τράπεζα σε κάποια «μπανανία» όπου τα επιτόκια φτάνουν το μυθικό ποσοστό του 100%: Σε ένα χρόνο το 1 ευρώ γίνεται 2. Κάποιος έχει την έξυπνη ιδέα να εκμεταλλευτεί στο έπακρο την κατάσταση: αποσύρει στους έξι μήνες το ποσό που έχει στην τράπεζα (αν αρχικά ήταν 1 ευρώ τότε μαζί με τους τόκους έχει φτάσει το 1,5 ευρώ) και το ξανακαταθέτει αμέσως. Όταν περάσουν άλλοι έξι μήνες το ποσό θα έχει αυξηθεί ξανά κατά ένα παράγοντα 1,5, δηλ. θα έχει γίνει 2,25 ευρώ[=1,5+50%x1,5]. Και αν ο πελάτης επισκέπτεται την τράπεζα συχνότερα αποσύροντας και ξανακαταθέτοντας τα χρήματα του κάθε τρεις μήνες, τότε σε έναν χρόνο το 1 ευρώ θα έχει γίνει 1,25x1,25x1,25x1,25=2,44 ευρώ. Αναρωτιέται κανείς μήπως τελικά τα κέρδη αυξάνονται ακόμα περισσότερο αν αποσύρει και ξανακαταθέτει τα χρήματα του κάθε μέρα, κάθε ώρα, κάθε λεπτό ή ακόμα και κάθε δευτερόλεπτο!

Ωστόσο, αντίθετα από τις προσδοκίες του καταθέτη, αυξάνοντας ολοένα και περισσότερο τη συχνότητα του ανατοκισμού δεν πετυχαίνουμε οσοσδήποτε μεγάλα κέρδη, καθώς υπάρχει ένα όριο που δεν μπορούμε να υπερβούμε. Είναι ο αριθμός 2,7182…, ο περίφημος αριθμός e του Όυλερ.

Όπως για τους άλλους ανθρώπους τα ψηφία 0, 1,…,9 είναι πανταχού παρόντα, έτσι και για τους μαθηματικούς ο αριθμός e παρουσιάζεται σε κάθε περιοχή της επιστήμης τους. Συγκαταλέγεται σίγουρα, μαζί με το π, ανάμεσα στους σπουδαιότερους αριθμούς. Η παρουσία του είναι βέβαιη όταν έχουμε να κάνουμε με κάποια εκθετική αύξηση (π.χ. στα βακτήρια) ή κάποια εκθετική μείωση (π.χ. στη διάσπαση ραδιενεργών ατόμων), αλλά τον συναντάμε συχνά και στη θεωρία των πιθανοτήτων, όπυ εμφανίζεται στον τύπο της περίφημης κωδωνοειδούς καμπύλης.

Ehrhard Behrends, Μαθηματικά πεντάλεπτα (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης)